۱- حاصل هر عبارت را به دست آورید:
پاسخ تشریحی:
* **$ \sqrt{۸۱} = ۹ $**
* (ریشه‌ی دوم مثبت عدد ۸۱، عددی است که در خودش ضرب شود و حاصل ۸۱ شود.)
* **$ \sqrt{۴^۲} = \sqrt{۱۶} = ۴ $**
* **$ \sqrt{(-۴)^۲} = \sqrt{۱۶} = ۴ $**
* (توجه کنید که حاصل جذر همواره عددی نامنفی است.)
* **$ \sqrt[۳]{-۱} = -۱ $**
* (چون $ (-۱)^۳ = -۱ $)
* **$ \sqrt[۳]{\frac{۲۷}{۱۲۵}} = \frac{\sqrt[۳]{۲۷}}{\sqrt[۳]{۱۲۵}} = \frac{۳}{۵} $**
* **$ \sqrt[۳]{۶^۳} = ۶ $**
* (ریشه‌ی سوم و توان سوم، عملیات معکوس یکدیگرند.)
* **$ \sqrt[۳]{-\frac{۸}{۱۰۰۰}} = \frac{\sqrt[۳]{-۸}}{\sqrt[۳]{۱۰۰۰}} = \frac{-۲}{۱۰} = -\frac{۱}{۵} $**
* **$ \sqrt[۳]{(-۷)^۳} = -۷ $**
* (ریشه‌ی سوم و توان سوم، عملیات معکوس یکدیگرند.)
۲- به کمک رابطه‌ی $ \sqrt{x^۲} = |x| $، که در فصل ۲ آموخته‌اید، حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید:
پاسخ تشریحی:
برای حل این عبارات، ابتدا از قاعده‌ی $ \sqrt{x^۲} = |x| $ استفاده کرده و سپس حاصل قدرمطلق را محاسبه می‌کنیم. اگر عبارت داخل قدرمطلق مثبت یا صفر باشد، خود آن را می‌نویسیم و اگر منفی باشد، آن را قرینه می‌کنیم.
* **$ \sqrt{(-۶)^۲} = |-۶| = ۶ $**
* **$ \sqrt{۸^۲} = |۸| = ۸ $**
* **$ \sqrt{(\frac{۳}{-۵})^۲} = |\frac{۳}{-۵}| = |-\frac{۳}{۵}| = \frac{۳}{۵} $**
* **$ \sqrt{(۱-\sqrt{۲})^۲} = |۱-\sqrt{۲}| $**
* چون $ \sqrt{۲} \approx ۱.۴ $، عبارت $۱-\sqrt{۲}$ **منفی** است. پس حاصل، قرینه‌ی آن است:
* $ -(۱-\sqrt{۲}) = \sqrt{۲}-۱ $
* **$ \sqrt{(۲-۹)^۲} = |۲-۹| = |-۷| = ۷ $**
* **$ \sqrt{(۱-\frac{۱}{۳})^۲} = |۱-\frac{۱}{۳}| = |\frac{۲}{۳}| = \frac{۲}{۳} $**
۳- حاصل عبارت $ \sqrt{x^۲} + \sqrt{y^۲} $ را در هر یک از حالت‌های زیر به دست آورید؛ یکی از حالت‌ها حل شده است.
پاسخ تشریحی:
عبارت اصلی را می‌توان ابتدا ساده کرد:
$ \sqrt{x^۲} + \sqrt{y^۲} = |x| + |y| $
حالا حاصل این عبارت را در هر یک از چهار حالت، با توجه به تعریف قدرمطلق، به دست می‌آوریم.
**الف) x و y هر دو مثبت هستند ($x>۰, y>۰$):**
* چون $x$ مثبت است، $ |x|=x $.
* چون $y$ مثبت است، $ |y|=y $.
* **حاصل:** $ \sqrt{x^۲} + \sqrt{y^۲} = x + y $
**ب) x مثبت و y منفی است ($x>۰, y<۰$):**
* چون $x$ مثبت است، $ |x|=x $.
* چون $y$ منفی است، $ |y|=-y $ (قرینه‌ی y که مقداری مثبت است).
* **حاصل:** $ \sqrt{x^۲} + \sqrt{y^۲} = x + (-y) = x - y $ (مانند نمونه‌ی حل شده)
**ج) x منفی و y مثبت است ($x<۰, y>۰$):**
* چون $x$ منفی است، $ |x|=-x $.
* چون $y$ مثبت است، $ |y|=y $.
* **حاصل:** $ \sqrt{x^۲} + \sqrt{y^۲} = -x + y $
**د) x و y هر دو منفی هستند ($x<۰, y<۰$):**
* چون $x$ منفی است، $ |x|=-x $.
* چون $y$ منفی است، $ |y|=-y $.
* **حاصل:** $ \sqrt{x^۲} + \sqrt{y^۲} = -x + (-y) = -x - y = -(x+y) $
